Hoe bereken je de standaarddeviatie? Formule en voorbeeld
De standaarddeviatie meet hoe ver getallen gemiddeld van het gemiddelde af liggen. Je berekent haar in vijf stappen: gemiddelde, afwijkingen, kwadrateren, optellen en delen, wortel trekken. Voor de reeks 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 is de populatie-standaarddeviatie 2 en de steekproef-standaarddeviatie 2,14. Plak je eigen getallen in de standaarddeviatie calculator.
De formules
Voor een populatie (je hebt alle waarnemingen):
σ = √( Σ(x − μ)² ÷ N )
Voor een steekproef (je hebt een deel en wilt iets zeggen over het geheel):
s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
Het enige verschil is de deler: N of n − 1.
Stap voor stap
Getallen: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8).
Stap 1: het gemiddelde. (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) ÷ 8 = 40 ÷ 8 = 5.
Stap 2 en 3: afwijkingen en kwadraten.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Stap 4: optellen. De som van de kwadraten is 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32.
Stap 5: delen en wortel trekken.
- populatie: 32 ÷ 8 = 4 (de variantie), √4 = 2
- steekproef: 32 ÷ 7 = 4,571 (de variantie), √4,571 = 2,138
Waarom kwadrateren?
De afwijkingen zelf tellen altijd op tot nul: de negatieve en positieve heffen elkaar op. Door te kwadrateren worden alle afwijkingen positief, en grote afwijkingen tellen zwaarder mee. Met de wortel aan het eind kom je weer terug in de oorspronkelijke eenheid. Is je data in centimeters, dan is de standaarddeviatie ook in centimeters; de variantie is in vierkante centimeters.
Steekproef of populatie?
Gebruik de populatie-formule als je data echt alles omvat: de cijfers van alle 28 leerlingen in jouw klas, als je alleen iets over die klas wilt zeggen. Gebruik de steekproef-formule als je data een selectie is waarmee je iets over een grotere groep wilt zeggen: 200 ondervraagde klanten als schatting voor al je klanten. In onderzoek en bij statistiek op school is de steekproefvariant meestal de bedoeling.
De deling door n − 1 (de correctie van Bessel) compenseert dat een steekproef de spreiding gemiddeld iets onderschat. Bij grote aantallen is het verschil verwaarloosbaar.
Wat zegt de uitkomst?
Bij een ongeveer normale verdeling ligt:
- zo'n 68% van de waarden binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde;
- zo'n 95% binnen 2 standaarddeviaties;
- zo'n 99,7% binnen 3 standaarddeviaties.
Stel dat de lengtes in een groep volwassen mannen gemiddeld 183 cm zijn met een standaarddeviatie van 7 cm. Dan ligt ongeveer 95% tussen 169 en 197 cm.
In Excel en Google Sheets
| Functie | Wat |
|---|---|
STDEV.S | steekproef (n − 1) |
STDEV.P | populatie (N) |
VAR.S / VAR.P | de bijbehorende variantie |
Op een grafische rekenmachine zoals de TI-84 geeft 1-Var Stats zowel Sx (steekproef) als σx (populatie).
Veelgestelde vragen
Wat is het verschil tussen variantie en standaarddeviatie?
De variantie is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen; de standaarddeviatie is de wortel daaruit. De standaarddeviatie heeft dezelfde eenheid als je data en is daardoor makkelijker te interpreteren.
Kan de standaarddeviatie negatief zijn?
Nee. Ze is altijd nul of positief. Nul betekent dat alle waarden gelijk zijn.
Wat is een grote standaarddeviatie?
Dat hangt af van het gemiddelde. De variatiecoëfficiënt (standaarddeviatie ÷ gemiddelde) helpt bij vergelijken: in het voorbeeld is dat 2 ÷ 5 = 40%.
Hoeveel getallen heb ik nodig?
Voor een steekproef minstens twee. Hoe meer waarnemingen, hoe betrouwbaarder de schatting.