Twierdzenie Pitagorasa – kalkulator

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

a² + b² = c²

Przyprostokątne a i b tworzą kąt prosty, a przeciwprostokątna c leży naprzeciw kąta prostego i jest zawsze najdłuższym bokiem. Z tego wzoru wynikają dwa przekształcenia:

c = √(a² + b²)
a = √(c² − b²)

Przykłady z obliczeniami

Klasyczny trójkąt 3-4-5: a = 3, b = 4, więc c = √(9 + 16) = √25 = 5. Pole wynosi 3 × 4 ÷ 2 = 6, obwód 12, a kąty to α = 36,87°, β = 53,13° i γ = 90°.

Szukana przyprostokątna: a = 2,5 i c = 6,5, więc b = √(42,25 − 6,25) = √36 = 6. Pole 7,5, obwód 15.

Wynik niecałkowity: a = 1,2 m i b = 3,6 m: c = √(1,44 + 12,96) = √14,4 ≈ 3,794733 m. Pole 2,16 m², kąty α = 18,43° i β = 71,57°.

Zastosowania praktyczne

• Budowa i remont: sprawdzenie, czy narożnik jest prosty. Odmierz 3 m wzdłuż jednej ściany i 4 m wzdłuż drugiej; jeśli odległość między punktami wynosi dokładnie 5 m, kąt jest prosty. Przy większych obiektach używa się wielokrotności, np. 6-8-10.
• Drabina: jak daleko od ściany ustawić drabinę o długości 5 m, aby sięgała na wysokość 4 m? √(25 − 16) = 3 m.
• Przekątna ekranu: telewizor o szerokości 1,2 m i wysokości 0,68 m ma przekątną około 1,38 m.
• Dach: długość krokwi z rozpiętości i wysokości dachu.
• Mapa i nawigacja: odległość w linii prostej między dwoma punktami na siatce współrzędnych.

Trójki pitagorejskie

Liczby całkowite spełniające twierdzenie Pitagorasa to trójki pitagorejskie, np. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 i 7-24-25. Każda ich wielokrotność (6-8-10, 9-12-15) również jest trójką pitagorejską. Przydają się, gdy chcesz uzyskać kąt prosty bez kątownika.

Kąty w trójkącie prostokątnym

Kalkulator oblicza też kąty ostre za pomocą funkcji trygonometrycznych: sin α = a ÷ c. Suma kątów w trójkącie wynosi zawsze 180°, więc α + β = 90°.

Ważne

Twierdzenie dotyczy wyłącznie trójkątów prostokątnych. W innych trójkątach stosuje się twierdzenie cosinusów. Jeśli wpiszesz przeciwprostokątną krótszą od przyprostokątnej, kalkulator zgłosi błąd, bo taki trójkąt nie istnieje.

Krok po kroku: obliczanie przeciwprostokątnej

1. Podnieś do kwadratu pierwszą przyprostokątną: 3² = 9.
2. Podnieś do kwadratu drugą przyprostokątną: 4² = 16.
3. Dodaj wyniki: 9 + 16 = 25.
4. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy: √25 = 5.

Przy szukaniu przyprostokątnej zamiast dodawać, odejmujesz: od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągnij pierwiastek.

Skąd nazwa?

Twierdzenie nazwano na cześć greckiego matematyka Pitagorasa z Samos, żyjącego w VI wieku p.n.e., choć zależność ta była znana wcześniej, m.in. w Babilonii. W polskich szkołach twierdzenie Pitagorasa omawia się zwykle w szkole podstawowej i jest jednym z podstawowych narzędzi geometrii.

Twierdzenie odwrotne

Działa to także w drugą stronę: jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. Na tym opiera się metoda 3-4-5 stosowana przez budowlańców i stolarzy.

Przekątna prostokąta i odległość w terenie

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, więc jej długość obliczysz z twierdzenia Pitagorasa. Pokój o wymiarach 5 × 4 m ma przekątną √(25 + 16) = √41 ≈ 6,40 m. Porównanie obu przekątnych to też prosty sposób, aby sprawdzić, czy wyznaczony fundament lub taras ma kąty proste: w prostokącie obie przekątne są równe.

Ostatnia weryfikacja: 06.10.2026. Wyniki mają charakter orientacyjny.