Pythagoras’ sætning
I en retvinklet trekant gælder, at kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på de to kateter:
a² + b² = c²
Kateterne a og b er de to sider, der danner den rette vinkel, og hypotenusen c er den længste side, som ligger over for den rette vinkel. Sætningen er opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras, men var kendt længe før hans tid. Den gælder kun for retvinklede trekanter.
Find hypotenusen: c = √(a² + b²) Find en katete: a = √(c² − b²)
Udregnede eksempler
| a | b | c | Situation |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | den klassiske 3-4-5-trekant |
| 2,4 m | 1,8 m | 3 m | stige eller skrå bjælke |
| 5 | 12 | 13 | ukendt katete |
| 121,8 cm | 68,5 cm | 139,74 cm | skærmdiagonal (55 tommer) |
Stigen trin for trin. En stige står med foden 1,8 m fra væggen og rækker 2,4 m op ad væggen. Stigens længde er c = √(2,4² + 1,8²) = √(5,76 + 3,24) = √9 = 3 m.
Ukendt katete. Hypotenusen er 13 og den ene katete 5. Den anden katete er √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.
3-4-5-reglen i praksis
Håndværkere bruger Pythagoras til at kontrollere, om et hjørne er helt retvinklet. Mål 3 meter ud ad den ene side og 4 meter ud ad den anden, og sæt et mærke begge steder. Er afstanden mellem de to mærker præcis 5 meter, er hjørnet 90 grader. Det samme gælder for 60, 80 og 100 cm eller for 6, 8 og 10 meter. Metoden bruges, når man afsætter et fundament, en terrasse eller et skur.
Diagonaler
Pythagoras er praktisk, når du skal finde en diagonal:
- Skærme og fjernsyn: Størrelsen angives som diagonalen i tommer (1 tomme = 2,54 cm). En skærm på 121,8 × 68,5 cm har en diagonal på 139,74 cm, hvilket svarer til 55 tommer.
- Rum og møbler: Kan et bord komme gennem døren på skrå? Beregn dørens diagonal ud fra bredde og højde.
- Tagkonstruktioner: Længden af et spær kan beregnes ud fra den vandrette afstand og højden til kippen.
Hvad beregneren også viser
Når de tre sider er kendt, viser beregneren også trekantens areal (a × b ÷ 2), omkreds (a + b + c) og de to spidse vinkler i grader. Vinklerne findes med trigonometri: tan(A) = a ÷ b. Har du brug for arealet af en vilkårlig trekant med grundlinje og højde, kan du også bruge kvadratmeterberegneren.
Typiske fejl
- Forkert side som hypotenuse: Hypotenusen er altid den længste side og ligger over for den rette vinkel.
- Glemt kvadratrod: a² + b² giver c², ikke c. Husk at tage kvadratroden til sidst.
- Blandede enheder: Brug den samme enhed for alle sider, fx kun centimeter.
- Ikke retvinklet: Sætningen gælder kun, når en af vinklerne er præcis 90 grader.
Pythagoras i tre dimensioner
Sætningen kan også bruges to gange til at finde den længste diagonal i en kasse, fx for at se, om en lang genstand kan ligge på skrå i et bagagerum. Først finder du diagonalen i bunden med længde og bredde, og derefter bruger du den diagonal og højden som kateter. For en kasse på 4 × 3 × 12 er bunddiagonalen 5, og den rumlige diagonal er √(5² + 12²) = 13.
Pythagoræiske tripler
Hele tal, der passer i sætningen, kaldes pythagoræiske tripler. De mest kendte er 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 og 7-24-25. Ganger du en tripel med det samme tal, får du en ny: 6-8-10 og 9-12-15 er også retvinklede trekanter.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad siger Pythagoras’ sætning?
I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kvadraterne på kateterne: a² + b² = c².
Hvordan finder jeg hypotenusen?
Læg kvadraterne på de to kateter sammen, og tag kvadratroden. Ved kateter på 3 og 4 er hypotenusen √(9 + 16) = 5.
Hvordan finder jeg en katete?
Træk kvadratet på den kendte katete fra kvadratet på hypotenusen, og tag kvadratroden. Ved c = 13 og a = 5 er b = √(169 − 25) = 12.
Kan jeg bruge sætningen på alle trekanter?
Nej, kun på retvinklede trekanter, hvor en vinkel er præcis 90 grader.
Hvordan kontrollerer jeg, om et hjørne er retvinklet?
Brug 3-4-5-reglen: mål 3 m ud ad den ene side og 4 m ud ad den anden. Er afstanden mellem punkterne 5 m, er hjørnet retvinklet.
Senest gennemgået: 06.10.2026. Resultaterne er skøn og kun vejledende.