Il teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa (c) ed è il lato più lungo; gli altri due lati sono i cateti (a e b). Il teorema di Pitagora dice che:
a² + b² = c²
Il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Da qui si ricavano le formule per trovare un lato qualsiasi:
Ipotenusa: c = √(a² + b²)
Cateto: a = √(c² − b²)
Esempi di calcolo
Ipotenusa: con i cateti a = 3 e b = 4, l'ipotenusa è √(9 + 16) = √25 = 5. L'area è 3 × 4 ÷ 2 = 6 e il perimetro 12. Gli angoli acuti misurano 36,87° e 53,13°.
Cateto: con l'ipotenusa c = 10 e il cateto a = 6, l'altro cateto è √(100 − 36) = √64 = 8. Area 24, perimetro 24.
Triangolo isoscele: con due cateti di 1, l'ipotenusa è √2 ≈ 1,414214 e i due angoli acuti misurano 45°.
Le terne pitagoriche
Alcune combinazioni di numeri interi soddisfano esattamente il teorema: sono le terne pitagoriche. Le più note sono:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
Anche tutti i multipli di una terna sono terne pitagoriche: 6, 8, 10 oppure 30, 40, 50. Con il calcolatore: a = 5 e b = 12 danno c = 13, con un'area di 30 e un perimetro di 30.
Applicazioni pratiche
- Edilizia e fai da te: con la regola del 3-4-5 i muratori verificano che un angolo sia retto. Si misurano 3 m su un lato e 4 m sull'altro: se la diagonale misura esattamente 5 m, l'angolo è di 90°.
- Scale: quanto deve essere lunga una scala appoggiata a un muro? Con la base a 1,2 m dal muro e un'altezza da raggiungere di 4 m, la scala deve essere lunga almeno √(1,2² + 4²) ≈ 4,18 m.
- Schermi: la diagonale di un televisore o di un monitor si calcola dalla larghezza e dall'altezza dello schermo.
- Distanze: la distanza in linea retta tra due punti su una mappa o un piano cartesiano.
Gli angoli del triangolo
Il calcolatore mostra anche gli angoli acuti α e β, calcolati con le funzioni trigonometriche. Per esempio α = arctan(a ÷ b). La somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°: con l'angolo retto di 90°, α e β insieme fanno 90°.
Errori frequenti
- Scambiare ipotenusa e cateto. L'ipotenusa è sempre il lato più lungo, opposto all'angolo retto. Se inserisci un'ipotenusa più corta di un cateto, il calcolatore segnala l'errore.
- Dimenticare la radice quadrata. a² + b² dà c², non c.
- Usare unità diverse. Tutti i lati devono essere nella stessa unità, per esempio tutti in centimetri.
- Applicarlo a triangoli non rettangoli. Il teorema vale solo se c'è un angolo di 90°.
Un po' di storia
Il teorema prende il nome dal matematico greco Pitagora di Samo, vissuto nel VI secolo a.C., che fondò la sua scuola a Crotone, in Calabria. La relazione era però già nota in forma pratica a Babilonesi, Egizi e Indiani, che la usavano per misurare i campi e costruire edifici.
Domande frequenti
Come si calcola l'ipotenusa?
Eleva al quadrato i due cateti, sommali ed estrai la radice quadrata. Con cateti 3 e 4: √(9 + 16) = 5.
Come si calcola un cateto?
Sottrai il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa ed estrai la radice. Con ipotenusa 10 e cateto 6: √(100 − 36) = 8.
Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli?
No, solo per i triangoli rettangoli, cioè con un angolo di 90°. Per gli altri triangoli si usa il teorema del coseno.
Che cos'è una terna pitagorica?
Sono tre numeri interi che soddisfano a² + b² = c², come 3, 4, 5 o 5, 12, 13. Anche i loro multipli sono terne pitagoriche.
Come verifico che un angolo sia retto?
Con la regola del 3-4-5: misura 3 unità su un lato e 4 sull'altro. Se la distanza tra i due punti è di 5 unità, l'angolo è retto.
Ultima verifica: 06/10/2026. I risultati sono stime indicative.