Mikä on Pythagoraan lause?
Pythagoraan lause koskee suorakulmaista kolmiota, eli kolmiota, jonka yksi kulma on 90 astetta. Suoran kulman viereisiä sivuja kutsutaan kateeteiksi (a ja b), ja suoraa kulmaa vastapäätä olevaa pisintä sivua hypotenuusaksi (c). Lauseen mukaan kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Lause on nimetty antiikin kreikkalaisen Pythagoraan mukaan, vaikka sen sisältö tunnettiin jo aiemmin esimerkiksi Babyloniassa. Pythagoraan lause on yksi koulumatematiikan tärkeimmistä tuloksista, ja sitä opetetaan Suomessa yläkoulussa.
Kaavat
a² + b² = c²
hypotenuusa: c = √(a² + b²)
kateetti: a = √(c² − b²)
Kun tiedät molemmat kateetit, laske niiden neliöt yhteen ja ota tuloksesta neliöjuuri. Kun tiedät hypotenuusan ja toisen kateetin, vähennä kateetin neliö hypotenuusan neliöstä ja ota neliöjuuri. Hypotenuusa on aina pisin sivu, joten kateetti ei voi olla hypotenuusaa pidempi. Laskuri ilmoittaa, jos syötetyt arvot ovat mahdottomia.
Laskuri laskee myös kolmion pinta-alan (a × b ÷ 2), piirin (a + b + c) ja terävät kulmat α ja β trigonometrian avulla. Kulma α on sivua a vastapäätä ja kulma β sivua b vastapäätä.
Laskuesimerkit
| Tunnetut sivut | Puuttuva sivu | Pinta-ala | Piiri | Kulmat |
|---|---|---|---|---|
| a = 3, b = 4 | c = 5 | 6 | 12 | 36,87° ja 53,13° |
| a = 5, c = 13 | b = 12 | 30 | 30 | 22,62° ja 67,38° |
| a = 2,5, b = 6 | c = 6,5 | 7,5 | 15 | 22,62° ja 67,38° |
| a = 1,2, b = 1,6 | c = 2 | 0,96 | 4,8 | 36,87° ja 53,13° |
| b = 40, c = 50 | a = 30 | 600 | 120 | 36,87° ja 53,13° |
| a = 1, b = 1 | c ≈ 1,414214 | 0,5 | ≈ 3,414214 | 45° ja 45° |
Esimerkki vaihe vaiheelta: kateetit ovat 3 ja 4. Neliöt ovat 3² = 9 ja 4² = 16. Summa on 25, ja sen neliöjuuri on 5. Hypotenuusa on siis 5. Kolmio 3–4–5 on tunnetuin Pythagoraan kolmikko, eli kokonaisluvuista muodostuva suorakulmainen kolmio. Muita ovat esimerkiksi 5–12–13 ja 8–15–17, ja jokainen kolmikon monikerta, kuten 6–8–10 tai 30–40–50, toimii myös.
Käytännön sovelluksia
Pythagoraan lausetta tarvitaan arjessa ja työssä useammin kuin uskoisi. Rakentajat tarkistavat sen avulla, onko kulma suora: kun toiselle sivulle mitataan 3 metriä ja toiselle 4 metriä, lävistäjän on oltava tasan 5 metriä. Tätä 3–4–5-sääntöä käytetään esimerkiksi perustusten, terassien ja aitojen mittaamisessa. Saman periaatteen avulla lasketaan katon lappeen pituus harjakorkeudesta ja talon puolikkaasta leveydestä, tikkaiden tarvittava pituus tai portaiden kaltevuus.
Television ja näytön koko ilmoitetaan lävistäjän pituutena tuumina. Kun tiedät näytön leveyden ja korkeuden, voit laskea lävistäjän Pythagoraan lauseella. Karttojen ja koordinaatiston kahden pisteen välinen suora etäisyys lasketaan myös samalla periaatteella: etäisyys on √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Navigoinnissa ja suunnistuksessa samaa periaatetta käytetään, kun arvioidaan linnuntie-etäisyyttä.
Esimerkki: tikkaat
Haluat nostaa tikkaat seinää vasten niin, että yläpää on 4 metrin korkeudella ja alapää 1 metrin päässä seinästä. Tikkaiden pituus on √(4² + 1²) = √17 ≈ 4,12 metriä. Turvallisuussuositusten mukaan tikkaiden alapään etäisyyden seinästä tulisi olla noin neljäsosa tikkaiden nousukorkeudesta, mikä toteutuu tässä esimerkissä.
Lauseen käänteinen muoto
Pythagoraan lauseen käänteinen muoto sanoo, että jos kolmion sivuille pätee a² + b² = c², kolmio on suorakulmainen. Tällä voi tarkistaa kulman suoruuden, kuten rakentajan 3–4–5-säännössä. Jos a² + b² on suurempi kuin c², pisintä sivua vastapäätä oleva kulma on terävä, ja jos se on pienempi, kulma on tylppä.
Usein kysytyt kysymykset
Miten hypotenuusa lasketaan?
Laske kateettien neliöt yhteen ja ota summasta neliöjuuri: c = √(a² + b²). Esimerkiksi kateeteilla 3 ja 4 hypotenuusa on √25 = 5.
Miten kateetti lasketaan?
Vähennä tunnetun kateetin neliö hypotenuusan neliöstä ja ota neliöjuuri: a = √(c² − b²). Esimerkiksi √(13² − 12²) = √25 = 5.
Toimiiko Pythagoraan lause kaikissa kolmioissa?
Ei. Lause pätee vain suorakulmaisissa kolmioissa. Muissa kolmioissa käytetään kosinilausetta, jonka erikoistapaus Pythagoraan lause on.
Mikä on Pythagoraan kolmikko?
Kolme kokonaislukua, jotka toteuttavat yhtälön a² + b² = c², esimerkiksi 3–4–5, 5–12–13 ja 8–15–17. Myös niiden monikerrat, kuten 6–8–10, ovat kolmikkoja.
Miten tarkistan, onko kulma suora?
Mittaa toiselle sivulle 3 yksikköä ja toiselle 4 yksikköä. Jos niiden päiden välinen etäisyys on tasan 5 yksikköä, kulma on suora. Tämä perustuu Pythagoraan lauseen käänteiseen muotoon.
Tarkistettu viimeksi: 6.10.2026. Tulokset ovat arvioita ja vain suuntaa antavia.