Teorema lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:
a² + b² = c²
Ipotenuza c este latura cea mai lungă, opusă unghiului drept. Catetele a și b sunt cele două laturi care formează unghiul drept. Din formulă rezultă:
c = √(a² + b²)
a = √(c² − b²)
b = √(c² − a²)
Pe lângă latura lipsă, calculatorul afișează aria (a × b ÷ 2), perimetrul (a + b + c) și cele două unghiuri ascuțite α și β, calculate cu funcțiile trigonometrice. Unghiul γ dintre catete are întotdeauna 90°.
Exemple rezolvate
| Cunoscute | Latura lipsă | Arie | Perimetru | Unghiuri |
|---|---|---|---|---|
| a = 3, b = 4 | c = 5 | 6 | 12 | α = 36,87°, β = 53,13° |
| a = 5, b = 12 | c = 13 | 30 | 30 | α = 22,62°, β = 67,38° |
| a = 2,4, c = 4 | b = 3,2 | 3,84 | 9,6 | α = 36,87°, β = 53,13° |
| cameră 5 m × 4 m (diagonala) | c = 6,40 m | 10 m² | – | α = 51,34°, β = 38,66° |
| scară de 5 m, baza la 1,2 m de perete | b = 4,85 m | – | – | α = 13,89°, β = 76,11° |
Pas cu pas pentru diagonala camerei: 5² + 4² = 25 + 16 = 41, iar √41 = 6,40 m. Pentru scară: 5² − 1,2² = 25 − 1,44 = 23,56, iar √23,56 = 4,85 m, adică înălțimea până la care ajunge scara pe perete.
Tripletele pitagoreice
Unele combinații de numere întregi verifică exact teorema: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 sau 7-24-25. Orice multiplu al unui triplet este și el un triplet, de exemplu 6-8-10 sau 30-40-50. Tripletele sunt foarte utile în practică, pentru că nu necesită rădăcini pătrate.
Regula 3-4-5 pe șantier
Constructorii și meseriașii folosesc teorema pentru a verifica dacă un colț este în unghi drept. Măsurați 3 m pe o latură și 4 m pe cealaltă, pornind din colț. Dacă distanța dintre cele două puncte este exact 5 m, unghiul are 90°. Pentru suprafețe mai mari folosiți multipli, de exemplu 6-8-10 m. Metoda funcționează la trasarea fundațiilor, la montarea gresiei sau la amplasarea unei terase.
Alte aplicații
- Diagonala unui ecran: diagonala televizorului este ipotenuza triunghiului format de lățime și înălțime.
- Lungimea unei rampe sau a unui acoperiș: din diferența de înălțime și distanța orizontală.
- Distanța în linie dreaptă pe o hartă sau pe un plan cu axe perpendiculare.
- Lungimea unui cablu întins pe diagonală între două puncte.
Teorema se aplică doar triunghiurilor dreptunghice. Pentru alte triunghiuri se folosește teorema cosinusului, care conține teorema lui Pitagora ca un caz particular, atunci când unghiul are 90°. Unitățile nu contează, atâta timp cât folosiți aceeași unitate pentru toate laturile; rezultatul are aceeași unitate.
Puțină istorie
Teorema poartă numele matematicianului grec Pitagora, care a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., dar relația dintre laturile triunghiului dreptunghic era cunoscută cu mult înainte. Tăblițele babiloniene de lut, vechi de aproape 4.000 de ani, conțin deja liste de triplete pitagoreice, iar constructorii egipteni foloseau probabil frânghii cu noduri pentru a trasa unghiuri drepte. Astăzi există sute de demonstrații ale teoremei, unele geometrice, altele algebrice. În școlile din România teorema se învață de obicei în clasa a VII-a, la geometrie, împreună cu teorema catetei și teorema înălțimii.
Întrebări frecvente
Cum calculez ipotenuza?
Ridicați la pătrat cele două catete, adunați rezultatele și extrageți radicalul. Pentru 3 și 4: √(9 + 16) = √25 = 5.
Cum calculez o catetă?
Scădeți pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei și extrageți radicalul. Pentru c = 4 și a = 2,4: √(16 − 5,76) = √10,24 = 3,2.
Ce este un triplet pitagoreic?
Trei numere întregi care verifică exact a² + b² = c², de exemplu 3-4-5 sau 5-12-13.
Cum verific un unghi drept cu regula 3-4-5?
Măsurați 3 unități pe o latură și 4 pe cealaltă. Dacă distanța dintre capete este exact 5, unghiul are 90°.
Se aplică teorema la orice triunghi?
Nu, doar la triunghiurile dreptunghice. Pentru celelalte se folosește teorema cosinusului.
Ultima verificare: 06.10.2026. Rezultatele sunt estimări orientative.